Stabilitätsanalyse

Spezielles Nyquist-Kriterium: Die "Linke-Hand-Regel"

Erforderliches Vorwissen

▼

Charakteristische Gleichung und Kritischer Punkt
Interpretation der Pollage

Nun kommt die Erkenntnis ins Spiel, dass wir für eine Stabilitätsaussage die genaue Lage der Pole gar nicht zu kennen brauchen. Entscheidend ist, dass sie negativen Realteil besitzen! Genau hierfür formuliert uns das Nyquist-Kriterium eine hinreichende (und notwendige) Bedingung.

Wir wollen es zunächst für den Spezialfall betrachten, dass der offene Kreis stabil sei.

Das Kriterium

Satz: Spezielles Nyquist-Kriterium

▼

Das Spezielle Nyquist-Kriterium (SNK) ist nur unter folgender Voraussetzung anwendbar: Alle Pole des müssen links der imaginären Achse liegen, mit Ausnahme höchstens eines einfachen oder doppelten Pols $s=0$ (Integrator).

Dann gilt: Der geschlossene Kreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurve des offenen Kreises den kritischen Punkt -1 in der komplexen Ebene weder umschließt noch durchdringt, sondern "links liegen lässt".

Wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist, liefert das SNK keine Aussage, der Regelkreis kann dann also stabil sein oder auch nicht.

Beispiele

Beispiel: SNK 1

▼

Uns liegt eine Strecke mit dieser Übertragungsfunktion vor:

G(s)= \frac{0.1}{s+1} \cdot\frac{-s+1}{s+1}

Wir wollen prüfen, ob bei Einsatz eines P-Reglers $K(s)=8$ die Stabilität des Regelkreises gesichert ist.

Schritt 1: Voraussetzung prüfen.

Der $F_O(s)=K(s)\cdot G(s)$ besitzt nur einen doppelten Pol in -1. Also darf das SNK angewendet werden.

Schritt 2: Kriterium anwenden

Unten siehst Du die Ortskurve des offenen Kreises $F_O(j\omega)$ . Umschließt/durchdringt sie den kritischen Punkt?

Nein, sie lässt ihn links liegen! (Stell Dir vor, der Wurm fährt die Ortskurve mit seinem Fahrrad ab. Beim Vorbeifahren winkt er dem kritischen Punkt mit der linken Hand zu.)

Aso ist der geschlossene Regelkreis stabil!

Kontrollieren wir das sicherheitshalber mit einer Simulation:

Das Führungsverhalten ist zwar überhaupt nicht überzeugend (vgl. Gütekriterien: hoher Überschwinger, lange Ausregelzeit), aber immerhin stabil ist der Regelkreis, und nur darauf testet das Nyquist-Kriterium!

Beispiel: SNK 2

▼

Wiederholen wir das Beispiel von oben, nun aber mit einem P-Regler $K(s)=25$ .

Schritt 1: Voraussetzung prüfen.

An den Polen hat sich nichts geändert, also darf das SNK angewendet werden.

Schritt 2: Kriterium anwenden

Umschließt/durchdringt die Ortskurve den kritischen Punkt?

Ja, das tut sie nun leider! Beim Vorbeifahren winkt sie dem kritischen Punkt nicht mehr mit der linken Hand zu, sondern mit der rechten. Aso ist der geschlossene Regelkreis nicht stabil!

In der Simulation siehst Du, wie die Regelgröße hier tatsächlich immer weiter aufklingt:

Jetzt bist Du dran!

Fallstudie: Nutzung experimenteller Daten

Coming soon...

Ortskurve der Strecke aus Experiment (z.B. Sinus-Sweep, FFT) bekannt. Stabilität für PI-Regler vorhersagen.

... Schau doch nächste Woche noch einmal vorbei!

Lernzielkontrolle

Was tun, wenn die Voraussetzungen für das spezielle Nyquist-Kriterium nicht erfüllt sind, z.B. weil die Strecke instabil ist? Dann greift man auf das Allgemeine Nyquist-Kriterium zurück.

Was möchtest Du jetzt tun?

Ich möchte das Allgemeine Nyquist-Kriterium kennenlernen.
Ich möchte sehen, wie man die Idee des speziellen Nyquist-Kriteriums benutzen kann, um etwas über die Stabilitätsreserve auszusagen.

Stabilitätsanalyse

Spezielles Nyquist-Kriterium: Die "Linke-Hand-Regel"

Das Kriterium

Beispiele

Schritt 1: Voraussetzung prüfen.

Schritt 2: Kriterium anwenden

Schritt 1: Voraussetzung prüfen.

Schritt 2: Kriterium anwenden

Fallstudie: Nutzung experimenteller Daten

Lernzielkontrolle

Was möchtest Du jetzt tun?

Sie sind Lehrkraft?