Regelungstechnik- Das interaktive Lehrbuch -

Stabilitätsanalyse

Vorüberlegungen: Charakteristische Gleichung und Kritischer Punkt

Gegenkopplung

Bei der Analyse eines geschlossenen Regelkreises mithilfe der Formel für Gegenkopplung

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Glossareintrag

Gegenkopplung

Als Gegenkopplung bezeichnet man die nachfolgend dargestellte Struktur, d.h. eine Rückkopplung mit negativem Vorzeichen:

Sind alle Übertragungsfunktionen linear und zeitinvariant (LZI), besitzt das Gesamtsystem die Übertragungsfunktion

Ggegen(s)=Y(s)U(s)=Gvor(s)1+Gvor(s)⋅Gru¨ck(s).G_{gegen}(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)} = \dfrac{G_{vor}(s)}{1 + G_{vor}(s) \cdot G_{r\"uck}(s)}.

 stellt man fest, dass jede Übertragungsfunktion, die durch den Regelkreis führt, denselben Nenner hat:

Ggegen(s)=Gvor(s)1+Gvor(s)⋅Gru¨ck(s)=Gvor(s)1+FO(s)G_{gegen}(s) = \dfrac{G_{vor}(s)}{1 + G_{vor}(s) \cdot G_{r\"uck}(s)} = \dfrac{G_{vor}(s)}{1 + F_O(s)}

Egal, wo das Eingangssignal in den Regelkreis eintritt und wo das Ausgangssignal ihn wieder verlässt: Immer gehören manche Elemente des Regelkreises zum Vorwärtspfad Gvor(s)G_{vor}(s) und alle anderen zum Rückwärtspfad Gru¨ck(s)G_{r\"uck}(s). Das Produkt Gvor(s)⋅Gru¨ck(s)G_{vor}(s) \cdot G_{r\"uck}(s) ist also genau die Serienschaltung aller Elemente des Regelkreises: der offene Kreis FO(s).F_O(s).

Beispiel:
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Nehmen wir an, wir hätten folgenden Regelkreis vorliegen:

Dann zählen K(s)K(s), G1(s)G_1(s) und G2(s)G_2(s) zum Vorwärtspfad der Führungsübertragungsfunktion (d.h. der Übertragungsfunktion zwischen Führungsgröße w(t)w(t) und Regelgröße y(t)y(t)); GM(s)G_M(s) liegt im Rückwärtspfad.

Betrachtet man die Störübertragungsfunktion (zwischen Störgröße z(t)z(t) und Regelgröße y(t)y(t)), dann bildet nur G2(s)G_2(s) den Vorwärtspfad; dafür liegen K(s)K(s) und G1(s)G_1(s) nun mit GM(s)G_M(s) zum Rückwärtspfad.

Der offene Kreis FO(s)F_O(s) ist in beiden Fällen das Produkt

FO(s)=K(s)⋅G1(s)⋅G2(s)⋅GM(s)F_O(s) = K(s)\cdot G_1(s) \cdot G_2(s) \cdot G_M(s)

Charakteristische Gleichung und Kritischer Punkt

Wenn wir die Stabilität einer solchen Übertragungsfunktion untersuchen wollen, müssen wir ihre Polstellen finden, d.h. die Nullstellen ihres Nenners. Besitzen sie alle negativen Realteil, ist der Regelkreis stabil -- sonst nicht.

Dabei ist noch zu beachten: Die Pole können zwar durch eine Nullstelle im Zähler kompensiert sein; dennoch bilden die Nennernullstellen eine Grundmenge aller Kandidaten für echte (d.h. nicht kompensierte) Übertragungspole. Wenn alle Kandidaten "links" liegen, gilt das auch für die Pole.

Und was ist mit Polstellen im Zähler?!

Da der Nenner in allen Fällen identisch ist, ergibt sich daraus die folgende Bedingung.

Definition: Charakteristische Gleichung, kritischer Punkt
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Die charakteristische Gleichung eines Regelkreises lautet

FO(αi)=−1.F_O(\alpha_i)=-1.

Darin ist FO(s)F_O(s) die Übertragungsfunktion des offenen Kreises

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Glossareintrag

Offener Kreis

Als offenen Regelkreis bezeichnet man eine Serienschaltung aller Übertragungsglieder des geschlossenen Regelkreises.

Hier beispielhaft der Signalflussplan eines Regelkreises:

Der sogenannte offene Kreis entsteht, indem man den geschlossenen Kreis an irgendeiner Stelle aufschneidet. Wo genau, spielt keine Rolle, weil die Übertragungsfunktion der Reihenschaltung unabhängig von der Reihenfolge der Übertragungsglieder ist.

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Den Punkt -1 der komplexen Ebene bezeichnet man als den kritischen Punkt.

Kandidaten für Polstellen
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Es gilt: Alle Pole des geschlossenen Kreises erfüllen die charakteristische Gleichung. Deren Lösungen αi\alpha_i bilden somit die Grundmenge aller Kandidaten für Pole. Sind alle αi\alpha_i bekannt und besitzen negativen Realteil, ist der Regelkreis gesichert stabil.

Beispiel: Stabilität über die char. Gleichung nachweisen
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Betrachten wir einen Standardregelkreis mit der PT1-Strecke G(s)=9s+1G(s)=\frac{9}{s+1} und einem P-Regler K(s)=1K(s)=1.

Die charakteristische Gleichung lautet dann:

FO(s)=K(s)⋅G(s)=1⋅9s+1=−1⇔9=−(s+1)⇔s=−10\begin{align*} F_O(s) = K(s)\cdot G(s) = 1 \cdot \frac{9}{s+1} &= -1 \\ \Leftrightarrow\qquad 9 &= -(s+1) \\ \Leftrightarrow\qquad s &= -10 \\ \end{align*}

Der einzige Kandidat für eine Polstelle im geschlossenen Regelkreis ist folglich α1=−10\alpha_1=-10. Somit liegen sicher alle Pole des geschlossenen Regelkreises links der imaginären Achse und er ist stabil!

Zur Bestätigung bestimmen wir die Führungsübertragungsfunktion:

Fw(s)=Gvor(s)1+FO(s)=K(s)⋅G(s)1+K(s)⋅G(s)=1⋅9s+11+1⋅9s+1=1⋅9s+1⋅(s+1)(1+1⋅9s+1)⋅(s+1)=9s+1+9=9s+10\begin{align*} F_w(s) &= \frac{G_{vor}(s)}{1+F_O(s)} = \frac{K(s)\cdot G(s)}{1+K(s)\cdot G(s)} \\ &= \frac{1 \cdot \frac{9}{s+1} }{1+1 \cdot \frac{9}{s+1}} = \frac{1 \cdot \frac{9}{s+1} \cdot (s+1)}{(1+1 \cdot \frac{9}{s+1})\cdot(s+1)} \\ &= \frac{9}{s+1+9} = \frac{9}{s+10} \end{align*}

Tatsächlich besitzt sie einen Pol in -10.

Leider ist die charakteristische Gleichung nicht immer so ohne weiteres zu lösen...

Beispiel: Transzendente char. Gleichung
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Ergänzen wir im obigen Beispiel ein Messglied im Rückführpfad des Regelkreises, das eine kleine Totzeit aufweist und somit die Übertragungsfunktion Gm(s)=e−tT⋅s.G_m(s)=e^{-t_T\cdot s}.

Dann lautet die char. Gleichung nun

FO(s)=K(s)⋅G(s)⋅Gm(s)=1⋅9s+1⋅e−tT⋅s=−1⇔9⋅e−tT⋅s=−(s+1)\begin{align*} F_O(s) = K(s)\cdot G(s)\cdot G_m(s) = 1 \cdot \frac{9}{s+1}\cdot e^{-t_T\cdot s} &= -1 \\ \Leftrightarrow\qquad 9 \cdot e^{-t_T\cdot s} &= -(s+1) \end{align*}

Und jetzt? Diese Gleichung bekommen wir nicht so einfach gelöst, denn wir kriegen die e-Funktion nicht weg, ohne uns auf der anderen Seite einen Logarithmus-Term einzufangen. Man nennt eine solche Gleichung auch transzendent.

Weiter im Text

In einem Fall wie dem zuletzt betrachteten brauchen wir stärkere Geschütze! Zum Beispiel das spezielle Nyquist-Kriterium.

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