Stabilitätsanalyse

Stabilitätsreserve

Grundidee

Um mit dem speziellen Nyquist-Kriterium Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises zu treffen, mussten wir prüfen, ob die Ortskurve des offenen Kreises $F_O(j\omega$) den kritischen Punkt $s=-1$ umschließt oder nicht.

In diesem Artikel werden wir sehen, dass wir zusätzlich zu dieser binären "stabil"-oder-"nicht stabil"-Aussage auch etwas daraus lernen können, wieviel Abstand die Ortskurve zum kritischen Punkt hat.

Amplituden- und Phasenreserve

Ablesen von der Ortskuve

Um die Amplitudenreserve $A_R$ zu ermitteln, sucht man im Nyquist-Diagramm den Schnittpunkt der Ortskurve mit der negativen reellen Achse. Der Abstand dieses Schnittpunkts vom Ursprung entspricht dem Kehrwert der Amplitudenreserve.

Im Beispiel unten beträgt der Abstand etwa $1/A_R=0.5$ und die Amplitudenreserve folglich ca. $A_R=2$; das heißt, die Verstärkung $K$ des Regelkreises könnte knapp verdoppelt werden, bevor er instabil wird.

Um die Phasenreserve $\varphi_R$ zu ermitteln, sucht man im Nyquist-Diagramm den Schnittpunkt der Ortskurve mit dem Einheitskreis und ermittelt den Winkel zur negativen reellen Achse.

Im Beispiel unten beträgt dieser Winkelabstand etwa $\varphi_R=60^\circ$.

Ablesen aus dem Bode-Diagramm

Amplituden- und Phasenreserve können auch aus dem Bode-Diagramm abgelesen werden:

• Den Schnittpunkt der Ortskurve mit der negativen reellen Achse findet man im Bode-Diagramm dort, wo der Phasengang den Wert $-180^\circ$ erreicht. Um die Amplitudenreserve $A_R$ zu ermitteln, liest man ab, wie weit unterhalb von 0 dB der Amplitudengang an dieser Frequenz liegt (vgl. siehe Dezibel-Skala). Im Beispiel unten sind dies ca. 6dB ($\Rightarrow A_R\approx2$).
• Um die Phasenreserve zu ermitteln, benötigen wir den Schnittpunkt der Ortskurve mit dem Einheitskreis (oranger Punkt). Dieser liegt im Bode-Diagramm dort, wo der Amplitudengang den Wert 0 dB erreicht. Die Phasenreserve $\varphi_R$ entspricht dann dem Abstand des Phasengangs von $-180^\circ$ in dieser Frequenz. Im Beispiel unten sind dies ca. 60°.

Fallbeispiele

Probieren wir das doch einmal aus!

Faustregeln

In der Praxis ist es aus mehreren Gründen nicht empfehlenswert, einen Regelkreis zu nahe an der Stabilitätsgrenze, d.h. mit zu kleiner Stabilitätsreserve zu betreiben:

• Einerseits können Modellfehler dafür sorgen, dass die vermutete Reserve in der Realität geringer ist als bei der Analyse vermutet.
• Andererseits kann die Strecke ihr Verhalten im Lauf der Zeit ändern (vgl. Forderung nach Robustheit).
• Schließlich zeigt der Regelkreis mit abnehmender Stabilitätsreserve eine immer stärkere Schwingneigung und dementsprechend schlechtes Führungsverhalten (vgl. Simulationsbeispiele oben).

Daher ist es empfehlenswert, folgende Richtwerte einzuhalten:

Faustregeln für die Stabilitätsreserve

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Laut [Föllinger 2013] sollte

• die Phasenreserve mindestens 40° betragen, besser 50-70°, für aperiodisches Verhalten (ohne Überschwinger) sogar 80-90°,
• die Amplitudenreserve mindestens $A_R\geq2$ betragen, besser 4-10.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Unendliche Amplitudenreserve

Es kann vorkommen, dass die Ortskurve $F_O(j\omega)$ keinen Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse aufweist wie im Bild unten. In diesem Fall ist die theoretische Amplitudenreserve unendlich groß, d.h. die Reglerverstärkung könnte theoretisch beliebig weit erhöht werden, ohne dass der Regelkreis instabil wird. In der Praxis ist dies freilich nicht zu empfehlen, z.B. weil in Wirklichkeit doch etwas Totzeit im Regelkreis vorliegt, die bei der Modellbildung vernachlässigt wurde, in Wahrheit jedoch eine endliche Amplitudenreserve bedeutet.

Unendliche Phasenreserve

Selbiges gilt für Regelkreise mit theoretisch unendlicher Phasenreserve, bei denen die Ortskurve $F_O(j\omega)$ vollständig im Inneren des Einheitskreises verläuft, wie im nachfolgenden Diagramm. In der Praxis tritt dergleichen kaum auf, weil ein Regler mit derart schwacher Verstärkung schlechtes Führungsverhalten erzielen würde.

Mehrere Schnittpunkte

In komplizierteren Fällen kann es vorkommen, dass die Ortskurve mehrere Schnittpunkte mit der negativen reellen Achse oder dem Einheitskreis hat.