Stabilitätsanalyse

Allgemeines Nyquist-Kriterium

Für die Untersuchung von Regelkreisen mit instabiler Strecke ist das spezielle Nyquist-Kriterium nicht anwendbar; man muss dazu auf die etwas kompliziertere allgemeine Fassung zurückgreifen.

Allgemeines Nyquist-Kriterium

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Voraussetzung:

Der offene Regelkreis hat eine gebrochen rationale Übertragungsfunktion, optional mit Totzeit $t_T\geq0$,

$F_O(s)=\dfrac{Z_O(s)}{N_O(s)}\cdot e^{-s\cdot t_T},$

worin Zählerpolynom $Z_O(s)$ und Nennerpolynom $N_O(s)$ teilerfremd vorliegen, d.h. vollständig gekürzt.

Definitionen:

• Es sei $a_O$ die Anzahl der Pole von $F_O(s)$ auf der imaginären Achse.
• Es sei $r_O$ sei die Anzahl der Pole von $F_O(s)$ rechts der imaginären Achse.
• Es sei $W$ die Winkeländerung (in mathematisch positivem Zählsinn, d.h. gegen den Uhrzeigersinn) des Fahrstrahls, der vom kritischen Punkt -1 zum laufenden Punkt $F_O(j\omega)$ der Ortskurve zeigt, während $\omega$ von null bis $+\infty$ läuft.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn

$$W = (r_O + a_O/2)\cdot\pi.$$

Puh! Klingt abgefahren, oder? Das interaktive Diagramm in der folgenden Aufgabe visualisiert anschaulich, was mit dem "laufenden Punkt der Ortskurve" gemeint ist.

Drehungen und die Kreiszahl π

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Merke:

• $2\pi$ sind eine volle Drehung (360°).
• $\pi$ ist eine halbe Drehung (180°).
• $\pi/2$ ist eine viertel Drehung (90°).

Nun wenden wir das allgemeine Nyquist-Kriterium auf die Beispiele aus dem vorherigen Abschnitt zum speziellen Nyquist-Kriterium an.

Weiter im Text

Vielleicht ist Dir beim Zählen der Winkeländerung aufgefallen, dass die Ortskurve in manchen Fällen ziemlich nah am kritischen Punkt vorbeigefahren ist. Dann war der Regelkreis zwar vielleicht stabil, aber nur knapp. Daher ermöglicht das Nyquist-Kriterium nicht nur eine binäre "stabil"-oder-"nicht stabil"-Aussage. Man kann aus dem Abstand zwischen Ortskurve und kritischem Punkt auch ablesen, wie viel Puffer man bis zum Verlust der Stabilität hat. Das wollen wir uns im nächsten Abschnitt näher ansehen: Stabilitätsreserve.