Stabilitätsanalyse

Allgemeines Nyquist-Kriterium

Für die Untersuchung von Regelkreisen mit instabiler Strecke ist das spezielle Nyquist-Kriterium nicht anwendbar; man muss dazu auf die etwas kompliziertere allgemeine Fassung zurückgreifen.

Allgemeines Nyquist-Kriterium

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Voraussetzung:

Der offene Regelkreis hat eine gebrochen rationale Übertragungsfunktion mit Totzeit

$F_O(s)=\frac{Z_O(s)}{N_O(s)}\cdot e^{-s\cdot t_T},$

worin Zählerpolynom $Z_O(s)$ und Nennerpolynom $N_O(s)$ teilerfremd, d.h. vollständig gekürzt vorliegen. Die Totzeit $t_T\geq0$ darf auch null betragen.

Definitionen:

• Es sei $a_O$ die Anzahl der Pole von $F_O(s)$ auf der imaginären Achse.
• Es sei $r_O$ sei die Anzahl der Pole von $F_O(s)$ rechts der imaginären Achse.
• Es sei $W$ die Winkeländerung (in mathematisch positivem Zählsinn, d.h. gegen den Uhrzeigersinn) des Fahrstrahls, der vom kritischen Punkt -1 zum laufenden Punkt $F_O(j\omega)$ der Ortskurve zeigt, während $\omega$ von $-\infty$ bis $+\infty$ läuft.

Dann gilt:

Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn $W = (2\,r_O + a_O)\cdot\pi.$

Puh! Klingt abgefahren, oder? Das folgende interaktive Diagramm visualisiert anschaulich, was mit dem "laufenden Punkt der Ortskurve" gemeint ist. Setze Dich gedanklich in den kritischen Punkt und stell Dir vor, jemand fährt mit dem Fahrrad die Ortskurve entlang. Zeige mit dem Finger auf ihn, und währenddessen zählst Du, um welchen Winkel Du Dich insgesamt drehen musstest!

Weiter im Text

Wie man an den Beispiel sehen konnte, ermöglicht das Nyquist-Kriterium nicht nur eine binäre "stabil"-oder-"nicht stabil"-Aussage. Man kann aus dem Abstand zwischen Ortskurve und kritischem Punkt auch ablesen, wie viel Puffer man bis zum Verlust der Stabilität hat. Das wollen wir uns im nächsten Abschnitt näher ansehen: Stabilitätsreserve.