Beispiel: Reibungsbehaftetes Pendel im Schwerefeld

Problemstellung

Wir betrachten die Bewegung eines einfachen Pendels wie in der Abbildung dargestellt: Eine Masse $m$ ist über einen masselosen Stab der Länge $l$ an einer Welle befestigt, deren Winkellage wir mit $\varphi(t)$ bezeichnen. Die Erdbeschleunigung $g$ bewirkt ein rückstellendes Drehmoment $M_G(t)$. In den Lagern wirkt zudem das Reibmoment $M_R(t)=k_R\cdot\omega(t)$, worin $\omega(t)$ die Winkelgeschwindigkeit ist. Durch einen Motor wird außerdem ein Antriebsmoment $M_A(t)$ auf die Welle aufgebracht.

Unser Ziel ist die Beschreibung des Verlauf der Winkellage $y(t)=\varphi(t)$ in Abhängigkeit des Antriebsmoments $u(t)=M_A(t)$.

Modellgleichungen

Der Drallsatz besagt, dass die Winkelbeschleunigung $\dot\omega(t)$ proportional zur Summe aller einwirkenden Drehmomente ist:

Das Trägheitsmoment der Punktmasse beträgt

Das Drehmoment infolge der Gravitation ergibt sich als Produkt von Trägheitskraft $F_G=m\cdot g$ und Hebelarm $l\cdot\sin\varphi(t)$:

Für das Reibmoment $M_R(t)$ haben wir bereits eine lineare Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit $\omega(t)$ angenommen. Das Antriebsmoment $M_A(t)$ betrachten ist die Eingangsgröße des Systems.

Setzen wir die Gleichungen ineinander ein, erhalten wir die Bewegungsgleichung des Pendels:

Außerdem wissen wir: Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist die Ableitung des Winkels $\varphi$:

Modellierung als explizite DGL höherer Ordnung

Wollen wir das Übertragungsverhalten des Systems "Pendel" durch eine gewöhnliche Differentialgleichung beschreiben, müssen wir (2) in (1) einsetzen:

Dabei fällt auf, dass nun eine zweite Ableitung auftaucht. Taufen wir die Ein- und Ausgangsgröße in $u(t)$ bzw. $y(t)$ um, erhalten wir schließlich:

Übertragungsdifferentialgleichung des Pendels

▼

$$\ddot{y}(t) + \frac{k_R}{ml^2}\cdot\dot{y}(t) + \frac{g}{l}\cdot\sin{y(t)} = \frac{1}{ml^2}\cdot u(t).$$

Modellierung im Zustandsraum

Anstelle einer Differentialgleichung zweiter Ordnung wollen wir nun ein Zustandsraummodell herleiten, das aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung besteht.

Dazu definieren wir den Zustandsvektor

Nun können wir Gl. (3) umformulieren, indem wir die Variablen $\varphi(t)$ und $\omega(t)$ durch den jeweiligen Eintrag von $\mathbf{x}(t)$ ausdrücken und die Eingangsgröße $M_A(t)$ durch $u(t)$:

Diese Gleichung beschreibt nun also die Ableitung $\ddt{} \mathbf{x}(t)$ des Vektors $\mathbf{x}(t)$ basierend auf seinem eigenen Momentanwert sowie jenem der Eingangsgröße.

Wir können diese Abhängigkeit damit sehr kompakt formulieren als

worin $\mathbf{f}(\cdot)$ eine Funktion ist, die einen zweidimensionalen Vektor zurückliefert:

Die interessierende Ausgangsgröße $y(t)=\varphi(t)$ können wir ebenfalls als Funktion $g(\cdot)$ von $\mathbf{x}(t)$ ausdrücken: