Zustandsregelung

Dieses Kapitel führt die Idee der Zustandsregelung ein, auch Zustandsrückführung genannt.

Motivation und Grundidee

Wir betrachten einen Gleichstrommotor, an dessen Welle eine Schwungscheibe angebracht ist.

Gleichstrommotor mit Scheibe, deren Winkelposition geregelt wirduMotorφ

Deren Lagewinkel φ(t)\varphi(t) soll mithilfe eines P-Reglers, u(t)=kP⋅e(t)u(t) = k_P\cdot e(t), auf den Festwert w(t)=φsoll(t)≡0w(t)=\varphi_{soll}(t) \equiv 0 geregelt werden.

Die anfängliche Winkellage betrage y(t0)=φ(t0)=φ0y(t_0) = \varphi(t_0)=\varphi_0.

Was tut der Regler, wenn er eingeschaltet wird (t=0t=0)?

Dazu bestimmen wir

u(t0)=kP⋅e(t0)=kP⋅(w(t0)−y(t0))=kP⋅(0−φ0)=−kP⋅φ0.\begin{align*} u(t_0) &= k_P\cdot e(t_0) \\ &= k_P\cdot\left(w(t_0) -y(t_0)\right) \\ &= k_P\cdot(0 - \varphi_0) \\ &= -k_P\cdot \varphi_0. \end{align*}

Er wählt die Stellgröße offensichtlich unabhängig von der anfänglichen Drehzahl! Dabei wäre es doch äußerst wichtig, zu berücksichtigen, ob sich die Welle zum Anfangszeitpunkt bereits in Bewegung befindet — evtl. ja sogar schon in die richtige Richtung, sodass man ggf. bereits bremsen müsste.

Worin liegt die Ursache für dieses Verhalten des P-Reglers? Er "weiß" nun mal nichts von der Dynamik im Inneren der Strcke, sondern handelt auf Basis der einzigen Information, die ihm vorliegt: der gemessenen Position, aus der er den Regelfehler ermittelt.

Regelglied
w
e
u
ym

Das gilt genauso auch für die anderen Regler, die wir im Kapitel klassischer Reglerentwurf kennengelernt haben: Sie alle haben keine Kenntnis vom Inneren der Strecke, ihrem Zustand.

Die Grundidee der Zustandsregelung liegt darin, dem Regler nicht nur die Regelgröße zur Verfügung zu stellen, sondern sämtliche Zustandsgrößen der Strecke.

Eigenwertvorgabe & Polplatzierung

Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass es in vielen Fällen möglich ist, mithilfe einer Zustandsrückführung

u(t)=−K⋅x(t)\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\cdot \mathbf{x}(t)

die Eigenwerte einer linear-zeitinvarianten Strecke zu verschieben — und zwar, wohin wir wollen.

Bevor wir darüber sprechen, wie das geht, kannst Du das am Beispiel der Positionsregelung ausprobieren. Beobachte, wie sich das Phasendiagramm ändert, wenn wir den Regelkreis schließen, spiele mit den Eigenwerten, die der Regler einstellt, und untersuche das Einschwingverhalten aus verschiedenen Anfangszuständen heraus!

Signalflussplan
x˙=Ax+Buy=Cx\begin{align*}\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u\\y &= \mathbf{C}\mathbf{x}\end{align*}
Strecke

Anfangszustand

u=0u = 0
yy
Motor mit Scheibe
Gleichstrommotor mit Scheibe, deren Winkelposition geregelt wirduMotorφ
Phasenporträt
Zeitverlauf Zustand
Zeitverlauf Stellgröße
Coming soon...
  • Berechnung der Zustandsrückführung mittels Koeffizientenvergleich
  • Ackermann-Formel
  • Steuerbarkeit als Voraussetzung
... Schau doch nächste Woche noch einmal vorbei!

Berücksichtigung der Führungsgröße

Bisher ging es nur darum, das Abkling- und Einschwingverhalten des Regelkreises zu kontrollieren.

Dabei haben wir im ersten Schritt angenommen, die Führungsgröße sei konstant null. Nun wollen wir auch einen beliebigen (zunächst konstanten) Sollwert erlauben und uns Gedanken zur stationären Genauigkeit der Regelung machen.

Hierfür betrachten wir nach [Föllinger 2013] 🕮 zwei Möglichkeiten:

  1. Ein statisches Vorfilter F\mathbf{F} und
  2. Eine statische Führungsgrößenaufschaltung Mx\mathbf{M}_x, Mu\mathbf{M}_u.

Zustandsregler mit statischem Vorfilter

Clipart des Helfer-Wurms, der auf etwas zeigt

Das Regelgesetz einer Zustandsregelung mit statischem Vorfilter lautet

u(t)=−K⋅x(t)+F⋅w(t)\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K}\cdot\mathbf{x}(t) + \mathbf{F}\cdot\mathbf{w}(t)

Nun kannst Du einen Sollwert vorgeben.

Zustandsregler mit statischer Vorsteuerung

Coming soon...
  • Bestimmung von Mx, Mu, und F
  • Weitere Beispiele

Die Arbeit an diesem Kapitel steht noch ganz am Anfang.

... Schau doch nächste Woche noch einmal vorbei!

Was möchtest Du jetzt tun?

  • Ich möchte lernen, wie man den Streckenzustand mithilfe eines Beobachters schätzen kann.