Wie groß ist der bleibende Regelfehler beim P-Regler?

Bevor Du diesen Artikel liest, solltest Du hiermit vertraut sein:

Wie die Beispiele im Artikel P-Regler gezeigt haben, stimmen Soll- und Istwert beim P-Regler in der Regel auch am Ende des Einschwingvorgangs nicht exakt überein. Der genaue Zusammenhang zwischen Soll-, Istwert und Verstärkungsfaktor kPk_P war zudem nicht offensichtlich ‐ darum wollen wir das hier näher untersuchen!

Herleitung

Regelglied
kP
Strecke
uwye

Dazu betrachten wir einen Gleichgewichtszustand des Regelkreises, d.h. wir nehmen an, ...

  • dass der Sollwert w(t)\fuehrung(t) schon seit langer Zeit konstant ist und w∞\fuehrung_\infty beträgt,
  • dass kPk_P konstant ist, und
  • dass sich auch eine konstante Stellgröße uy∞\stell_\infty und eine konstante Regelgröße yx∞\regel_\infty eingestellt haben.

Nun bezeichnen wir den Verstärkungsfaktor (auch stationäre Verstärkung genannt) der Strecke mit

KV=yx∞uy∞K_V = \frac{\regel_\infty}{\stell_\infty}

Die nun folgenden Überlegungen gelten nur dann, wenn die Strecke linear ist, d.h. (vereinfacht gesagt), wenn z.B. eine Verdopplung von uy∞\stell_\infty auch zur Verdopplung von yx∞\regel_\infty führt.

Ausgehend von der Definition des Regelfehlers können wir somit einsetzen:

e∞xd,∞=w∞−yx∞=w∞−KV⋅uy∞=w∞−KV⋅kP⋅e∞xd,∞\begin{align*} \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} &= \fuehrung_\infty - \regel_\infty \\ &= \fuehrung_\infty - K_V\cdot \stell_\infty \\ &= \fuehrung_\infty - K_V\cdot k_P\cdot \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} \\ \end{align*}

Jetzt können wir die Gleichung nach e∞xd,∞\ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} auflösen:

⟺e∞xd,∞+KV⋅kP⋅e∞xd,∞=w∞⟺e∞xd,∞⋅(1+KV⋅kP)=w∞⟺e∞xd,∞=11+kP⋅KV⋅w∞\begin{align*} \Longleftrightarrow\quad & \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} +K_V\cdot k_P\cdot \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} = \fuehrung_\infty \\ \Longleftrightarrow\quad & \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} \cdot \Bigl(1 + K_V \cdot k_P \Bigr) = \fuehrung_\infty \\ \Longleftrightarrow\quad & \ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}} = \frac{1}{1 + k_P\cdot K_V}\cdot \fuehrung_\infty \end{align*}

Anstelle des absoluten Fehlers können wir nun auch leicht den relativen Fehler angeben, d.h. den Regelfehler bezogen auf den Sollwert:

Clipart des Helfer-Wurms, der auf etwas zeigt

Ein P-Regler mit Verstärkungsfaktor kPk_P bewirkt bei der Regelung einer linearen Strecke mit stationärer Verstärkung den relativen stationären Regelfehler

e∞xd,∞w∞=11+kP⋅KV\frac{\ntn{e_\infty}{x_{d,\infty}}}{\fuehrung_\infty} = \frac{1}{1 + k_P\cdot K_V}

Die oben hergeleiteten Formeln gelten nur dann, wenn die Strecke linear ist.

Einfluss von kPk_P

Offensichtlich ist der Fehler abhängig von der stationären Verstärkung KVK_V der Strecke - auf diese haben wir keinen Einfluss - und dem Verstärkungsfaktor kPk_P: den haben wir in der Hand!

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