Der PI-Regler

Der PI-Regler ist ein klassischer Regler mit einem PI-Glied als Regelglied, also der Parallelschaltung eines Proportionalglieds und eines Integrators.

Motivation und Grundidee

Als große Schwäche des P-Reglers hatten wir festgestellt, dass dieser nach dem Einschwingvorgang meist eine bleibende zurücklässt, sodass die Regelgröße ihren Sollwert nicht genau erreicht. Das liegt daran, dass ein Proportionalglied kein Gedächtnis besitzt (man sagt, sein Übertragungsverhalten ist statisch): Er berechnet die Stellgröße nur aus der aktuellen Regeldifferenz, ohne zu berücksichtigen, wie lange diese schon besteht.

Hier setzt der PI-Regler an: Er bildet zusätzlich das der Regeldifferenz, d.h. er summiert die Fläche zwischen Soll- und Istwert über die Zeit auf und berücksichtigt so die gesamte Historie. Dadurch kann er die Stellgröße so lange anpassen, bis die Regelabweichung tatsächlich verschwindet.

Regelgesetz

Ausgehend von der Regeldifferenz $e$ ermittelt der PI-Regler die Stellgröße nach dem Regelgesetz

In dieser Summe steckt...

• der Proportionalanteil $k_P \cdot e(t)$, den wir vom P-Regler kennen, und
• der Integralanteil $k_I\cdot\int\limits_{\tau=0}^{t} e(\tau) d\tau$, der durch Integration des Regelfehlers entsteht.

Im Signalflussplan kann man den PI-Regler daher in dieser additiven Form darstellen:

PI-Regler

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"PI" steht für Proportional- PLUS Integral-Anteil!

Beispiel: Drehzahlregelung

Welchen Einfluss hat es also auf die Regelung, wenn wir dem Regelgesetz nun einen I-Anteil hinzufügen? Das sollst Du in der nächsten Aufgabe ausprobieren.

Multiplikative Form und Nachstellzeit

Das obige Beispiel zeigt: Die Höhe des Verstärkungsfaktors $k_I$ ist ganz entscheidend für die Regelgüte:

• Ist $k_I$ zu klein, dann dauert es sehr lange, bis die Regelabweichung verschwindet. Man nennt das Kriechverhalten.
• Ist $k_I$ zu groß, dann neigt der Regelkreis zu Schwingungen; wenn er unkontrolliert aufschwingt, bezeichnet man ihn als instabil.

Allerdings hängt das nicht von $k_I$ allein ab, sondern auch von $k_P$: Je größer $k_P$ ist, desto stärker reagiert der P-Anteil auf die Regeldifferenz, und das hat wiederum EInfluss auf deren Integral. Es ist also immer das Zusammenspiel von $k_P$ und $k_I$, das die Regelgüte bestimmt.

Oft erweist es sich daher als vorteilhaft, das Verhältnis der beiden Verstärkungen zu betrachten: die sogenannte Nachstellzeit $T_N$,

Mit dieser Definition lässt sich das Regelgesetz auch schreiben als